JUNIO

01/06/2012

PRIMERA EVALUACIÓN 

06/06/2016.

EXPERIMENTO ESTADISTICO

Definido como un procedimiento que se realiza con el propósito de obtener observaciones para algún estudio de interés  .

Entre las características mas importantes a resaltar acerca del experimento estadístico se tiene:

• Se conocen los resultados posibles antes del experimento.
• No se puede predecir el resultado de cada ensayo.
• Debe poderse repetir el experimento en condiciones similares.
• Se puede predecir un patrón durante el desarrollo del experimento.

08/06/2016.

ESPACIO MUESTRAL (S)

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Cada elemento de S se denomina Punto Muestral. Según la naturaleza del experimento, los puntos muestrales pueden determinar que S sea discreto o continuo.

1. Discreto.- si sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los números naturales. En este caso S puede se finito o infinito.
2. Continuo.- si los resultados corresponden a algún intervalo de los números reales. En este caso S es infinito por definición.

EVENTOS

Un evento se puede definir como un subconjunto del espacio muestral S , se denota con letras mayúsculas A , B ,...Z. Otra forma de denotarse es utilizando la letra E1, E2 ,E3 ,etc.

• Evento nulo: No contiene resultados (puntos muestrales)
• Evento simple: Contiene un solo resultado (punto muestral)
• Eventos excluyentes: Eventos que no contienen resultados comunes

σ-ALGEBRA (sigma álgebra).

El soporte matemático natural para el estudio de las propiedades de los eventos es la Teoría de Conjuntos. Pero existe un álgebra formal específica para su estudio denominada σ-Algebra.

σ-Algebra A es una colección no vacía de subconjuntos de S tales que:

1) S ∈ A

2) Si A ∈ A, entonces A ^ C ∈ A

3) Si A1, A2, ... ∈ A, entonces:

En resumen una σ-Algebra  incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la operación de unión de conjuntos.

PROBABILIDAD DE EVENTOS

El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realización.
Sea A un evento, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice.

"Sea A un evento , entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice ".
Luego:
P(A)=0 , es la certeza de que no se realizara.
P(A)=1 , es la certeza de que si se realizara.
P(A)=1/2 , indica que existe la posibilidad de que se realice o no se realice.

Asignación de valores de probabilidad a eventos

1) Empírica.- Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de
intentos realizados.

2) Mediante modelos matemáticos.- Para muchas situaciones de interés puede construirse modelos matemáticos con los cuales se puede determinar la probabilidad de eventos, tanto para variables discretas como continuas.

3) Asignación clásica.-Su origen es la Teoría de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la relación entre la cantidad de resultados que se consideran favorables para el evento de interés, respecto al total de resultados posibles (Espacio Muestral).

Definición: 
Sean: S: Espacio muestral
A: Evento de interés .
Si N(S) y N(A) representan la cardinalidad (número de elementos)


Entonces la probabilidad del evento A es: P(A)=N(A) /N(S) 

Probabilidad de Eventos Simples


La cual se caracteriza porque incluye un solo punto muestral por lo que un evento cualquiera A de S puede considerarse como la unión de sus eventos simples

AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS

Con la finalidad de facilitar la resolución de problemas y basándose en la definición de probabilidad , se definieron los siguientes axiomas:

Sea S: Espacio muestral
E: Evento de S
P(E): Probabilidad del evento E
R: Conjunto de los reales
P una función que asocia a cada evento E de S un número real

Función de Probabilidad de un Evento
P: S→ R
E → P(E), dominio P = S, rango P = [0, 1]


P se denomina Función de Probabilidad de un Evento y cumple los siguientes axiomas:

Con los axiomas establecidos se pueden demostrar algunas propiedades de interés, para los eventos de un espacio muestral S.

AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS

a) Probabilidad de un Evento Nulo: 

b) Probabilidad del Evento Complemento: 

c) Probabilidad de Eventos Incluidos: 

d) La probabilidad de un Evento está entre 0 y 1: 

e) Probabilidad de la Diferencia de Eventos:

f) Regla Aditiva de Probabilidad de Eventos:

13/06/2016

Probabilidad Condicional

Sean A y B eventos de S,

- La probabilidad del evento A, dado el evento B se escribe P(A/B) y es:

EVENTOS INDEPENDIENTES:

''Sean A y B eventos cualesquiera de un espacio muestral definido como S. Se dice que A y B son independientes si 

 y 

Lo que significa que el evento A no depende del evento B y el evento B no depende del A''.

Entonces, si A y B son eventos independientes la probabilidad de A y B está dada por:

Para tres eventos mutuamente independientes la probabilidad es:

PROBABILIDAD TOTAL

Existen situaciones en las cuales varios eventos intervienen en la realización de algún otro evento del mismo espacio muestral.

Sean B1, B2, ... ,Bk eventos mutuamente excluyentes en S y que constituyen una partición de S, es decir, cumplen las siguientes propiedades:

a) ∀i,j (Bi∩Bj = ∅,  i ≠ j) (Los eventos son mutuamente excluyentes)

b) B1∪ B2 ∪ ... ∪ BK = S (La unión de todos estos eventos es S)

Entonces la probabilidad total del evento A está dada por:

Sea A un evento cualquiera de S La realización de A depende de los eventos B1, B2, ... ,BK

ADEMAS SE CUMPLE QUE:

TEOREMA DE BAYES 

Permite calcular la probabilidad a cada uno de los eventos que contribuyen a la realización de ottro evento, dado que se conoce la probabilidad de este evento.

20/06/2016

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 

El objetivo es proporcionar reglas que nos permitan establecer correspondencias de los elementos del espacio muestral S con los números reales para luego asignarles un valor de probabilidad.

Las Variables Aleatorias establecen correspondencia del espacio muestral S al conjunto de los números reales. Esta correspondencia es funcional y se la puede definir formalmente.

DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA:

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. 

Cada valor de una variable aleatoria discreta puede asociarse a un valor de probabilidad.

DEFINICION:

Sea X: Variable aleatoria discreta
Entonces, P(X=x) representa la probabilidad que la variable X tome el valor x.
La correspondencia que define P(X=x) es una función y se denomina Distribución de Probabilidad de la variable aleatoria X. Esta correspondencia puede definirse formalmente y ser designada con la notación f.

Sean X: Variable aleatoria discreta
f(x) = P(X=x): Probabilidad que X tome el valor x. Entonces, la correspondencia f: X → R,

x → f(x) = P(X=x), dom f = X, rg f ⊂ [0, 1]

f es una función de probabilidad, por lo tanto su rango está en el intervalo [0, 1].


PROPIEDADES:




DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

Cada valor de una variable aleatoria (x)  puede asociarse a un valor de probabilidad



VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

El Valor Esperado o Media es una medida estadística que describe la tendencia central de una variable aleatoria. Representa el valor promedio que tomaría la variable aleatoria si el experimento se realizara un gran número de veces en condiciones similares.

27 - 06 -  2016

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Es una medida estadística que cuantifica el nivel de dispersión o variabilidad de los valores la variable aleatoria alrededor de la media.

DEFINICIÓN:

Sea X: Variable aleatoria discreta

f(x): Distribución de probabilidad

μ, o E(X): Media o Valor Esperado de la variable aleatoria X

Entonces:

TEOREMA DE CHEBYSHEV

Este teorema establece un valor mínimo para la probabilidad de una variable aleatoria en un intervalo alrededor de la media, independientemente de su función de probabilidad. 

El valor que se obtiene es únicamente una referencia.